Inhaltsverzeichnis

Oberstufenstoff

• Differentialrechnung
• Grundintegrale
• Logarithmisches Integrieren
• Integration durch Substitution
• Partielles Integrieren
• Kombination verschiedener Integrationsverfahren

Gelegentlich muss der Integrand geschickt umgeformt werden, um auf die Form

zu kommen. Das folgende Beispiel zeigt einen solchen Fall:

$$\begin{array}{lll}\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm{dx}& \stackrel{1}{=}& \frac{1}{2}\cdot \int \frac{2\cdot x}{x^2+1}\mathrm{dx}\\ & \stackrel{2}{=}& \frac{1}{2}\cdot \ln (x^2+1)\end{array}$$

Wenn man eine gebrochenrationale Funktion integriert, ist es also zweckmäßig, vor dem Übergang zu aufwendigeren Integrationsverfahren die Ableitung des Nenners zu bilden und zu prüfen, ob diese Ableitung bis auf einen Faktor mit dem Zähler übereinstimmt.

Dieses Vorgehen ist nicht auf begrochenrationale Integranden beschränkt:

$$\begin{array}{lll}\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)}\mathrm{dx}& =& \int \frac{\frac{d}{\mathrm{dx}}\sin (x)}{\sin (x)}\mathrm{dx}\\ & =& \ln (\sin (x))\end{array}$$

Wenn der Grad des Zählerpolynoms nicht kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms, muss die gebrochenrationale Funktion zerlegt werden in einen polynomialen Teil und einen echt gebrochenrationalen Teil. Diese Zerlegung verlangt im Allgemeinen Polynomdivision. In Einzelfällen ist die Zerlegung aber durch geschicktes Umformen einfacher zu erreichen:

$$\begin{array}{lll}\int \frac{x^2}{x^2+1}\mathrm{dx}& \stackrel{1}{=}& \int \frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm{dx}\\ & \stackrel{2}{=}& \int \frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\mathrm{dx}\\ & \stackrel{3}{=}& \int 1\mathrm{dx}-\int \frac{1}{x^2+1}\mathrm{dx}\\ & \stackrel{4}{=}& x-\arctan (x)\end{array}$$

Für Maxima Tutorial

Gesucht ist eine quadratische Funktion, deren Graph durch die Punkte P(1|1) und 0(3|1) verläuft und an der Stelle 2 eine waagerechte Tangente hat. Deuten Sie Ihr Ergebnis grafisch.

(%i1) ausdruck:  a*x^2 + b*x + c;
                                   2
(%o1)                           a x  + b x + c
(%i2) fgl1: y = ausdruck;
                                     2
(%o2)                         y = a x  + b x + c
(%i3) fgl2: y = diff(ausdruck, x);
(%o3)                            y = 2 a x + b
(%i4) gl1: sublis([x = 1, y = 1], fgl1);
(%o4)                            1 = c + b + a
(%i5) gl2: sublis([x = 3, y = 1], fgl1);
(%o5)                          1 = c + 3 b + 9 a
(%i6) gl3: sublis([x = 2, y = 0], fgl2);
(%o6)                             0 = b + 4 a
(%i7) ergebnis: solve([gl1, gl2, gl3], [a, b, c]);
solve: dependent equations eliminated: (1)
                         %r1 - 1        4 %r1 - 4
(%o7)              [[a = -------, b = - ---------, c = %r1]]
                            3               3
(%i8) sublis(ergebnis[1], fgl1);
                                   2
                        (%r1 - 1) x    (4 %r1 - 4) x
(%o8)               y = ------------ - ------------- + %r1
                             3               3
(%i9)