Integration durch Kombination verschiedener Verfahren

Vorbemerkung

Gelegentlich ist es erforderlich, Substitution, logarithmisches Integrieren und partielle Integration zu kombinieren, um ein Ergebnis zu erhalten. Dabei ist es oft zweckmäßig, die Anwendbarkeit der verschiedenen Verfahren in der folgenden Reihenfolge zu prüfen:

• Anwendung eines Grundintegrals
• Integration durch Substitution
• Partielles Integrieren

Die folgenden Beispiele veranschaulichen dieses Vorgehen.

Im folgenden Beispiel wird zunächst substituiert und anschließend partiell integriert. Die Rück­substitution schließt die Rechnung ab.

$$\begin{array}{ll}\int \arctan \left(\frac{1}{1-x}\right)\mathrm{dx}& \{\begin{array}{l}\mathrm{Substitution:}t=x-1\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=1\\ \mathrm{dx}=\mathrm{dt}\end{array}\\ \int \arctan \left(\frac{1}{t}\right)\mathrm{dt}=\int 1·\arctan \left(\frac{1}{t}\right)\mathrm{dt}& \{\begin{array}{ll}\multicolumn{2}{c}{\mathrm{Partielle\; Integration\; mit}}\\ u^{{\text{'}}}=1& u=t\\ v=\arctan \left(\frac{1}{t}\right)& v^{{\text{'}}}=\frac{-1}{t^2+1}\end{array}\\ t·\arctan \left(\frac{1}{t}\right)-\int t·\frac{-1}{t^2+1}\mathrm{dt}& \{\begin{array}{l}\mathrm{Ausführung\; der\; partiellen\; Integration}\\ \mathrm{und\; Vereinfachung}\end{array}\\ t·\arctan \left(\frac{1}{t}\right)+\int \frac{t}{t^2+1}\mathrm{dt}& \\ t·\arctan \left(\frac{1}{t}\right)+\frac{1}{2}·\int \frac{2·t}{t^2+1}\mathrm{dt}& \{\begin{array}{l}\mathrm{Skalierung\; zur\; Vorbereitung}\\ \mathrm{der\; logarithmischen\; Integration}\end{array}\\ t·\arctan \left(\frac{1}{t}\right)+\frac{1}{2}·\ln \left(t^2+1\right)& \{\begin{array}{l}\mathrm{Rücksubstitution:}\\ t=x-1\end{array}\\ \left(x-1\right)·\arctan \left(\frac{1}{x-1}\right)+\frac{1}{2}·\ln \left({\left(x-1\right)}^2+1\right)& \end{array}$$

Ein kompliziertes Beispiel ist dieses:

$$\int \frac{x·e^{\arctan \left(x\right)}}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\mathrm{dx}$$

Dieses Integral kann durch zweimaliges partielles Integrieren bestimmt werden. Beim partiellen Integrieren fallen zwei weitere Integrale an, die durch Substitution berechnet werden.

Hier ist der detaillierte Ablauf der Rechnung:

$$\begin{array}{ll}\int \frac{x·e^{\arctan \left(x\right)}}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\mathrm{dx}& \{\begin{array}{ll}\multicolumn{2}{c}{\mathrm{Partielle\; Integration\; mit}}\\ u=e^{\arctan \left(x\right)}& u^{\mathbf{\text{'}}}=\frac{e^{\arctan \left(x\right)}}{1+x^2}\\ v^{\mathit{\text{'}}}=\frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}& v=\frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}\end{array}\\ & |\begin{array}{ll}\multicolumn{2}{c}{\mathrm{Bestimmung\; von\; v:}}\\ \int \frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\mathrm{dx}& \{\begin{array}{ll}\multicolumn{2}{c}{\mathrm{Substitution:}t=1+x^2}\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=2·x& \\ \mathrm{dx}=\frac{1}{2·x}\mathrm{dt}& \end{array}\\ \int \frac{x}{t^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}·\frac{1}{2·x}\mathrm{dt}& \\ \frac{1}{2}\int t^{\raisebox{1ex}{$-3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\mathrm{dt}& \\ \frac{1}{2}{·\left(-2\right)·t}^{\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=\frac{-1}{\sqrt{t}}& \mathrm{Rücksubstitution:}t=1+x^2\\ \frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}& \\ & \\ & \end{array}\\ \frac{-e^{\arctan \left(x\right)}}{\sqrt{1+x^2}}-\int \frac{e^{\arctan \left(x\right)}}{1+x^2}·\frac{\left(-1\right)}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{dx}& \\ \frac{-e^{\arctan \left(x\right)}}{\sqrt{1+x^2}}+\int \frac{e^{\arctan \left(x\right)}}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\mathrm{dx}& \{\begin{array}{ll}\multicolumn{2}{c}{\mathrm{Partielle\; Integration\; mit}}\\ u=e^{\arctan \left(x\right)}& u^{\text{'}}=\frac{e^{\arctan \left(x\right)}}{1+x^2}\\ v^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}& v=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\end{array}\\ & |\begin{array}{ll}\multicolumn{2}{c}{\mathrm{Bestimmung\; von\; v:}}\\ \int \frac{1}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\mathrm{dx}& \{\begin{array}{ll}\multicolumn{2}{c}{\mathrm{Substitution:}x=\sinh \left(t\right)}\\ \sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+{\sinh }^2\left(t\right)}=\cosh \left(t\right)& \\ \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=\cosh \left(t\right)& \\ \mathrm{dx}=\cosh \left(t\right)\mathrm{dt}& \end{array}\\ \int \frac{1}{{\cosh }^3\left(t\right)}·\cosh \left(t\right)\mathrm{dt}& \\ \int \frac{\mathrm{dt}}{{\cosh }^2\left(t\right)}=\tanh \left(t\right)& \\ \frac{\sinh \left(t\right)}{\cosh \left(t\right)}& \{\begin{array}{ll}\mathrm{Rücksubstitution:}& \\ \sinh \left(t\right)=x& \\ \cosh \left(t\right)=\sqrt{1+x^2}& \end{array}\\ \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}& \end{array}\\ \frac{-e^{\arctan \left(x\right)}}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{x·e^{\arctan \left(x\right)}}{\sqrt{1+x^2}}-\int \frac{x·e^{\arctan \left(x\right)}}{\sqrt{1+x^2}·\left(1+x^2\right)}\mathrm{dx}& \mathrm{Zusammenfassen}\\ \frac{e^{\arctan \left(x\right)}}{\sqrt{1+x^2}}·\left(x-1\right)-\int \frac{x·e^{\arctan \left(x\right)}}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\mathrm{dx}& \{\begin{array}{l}\mathrm{Der\; letzte\; Summand\; ist\; eben\; das\; gesuchte\; Integral.}\\ \mathrm{Subtraktion\; ergibt:}\end{array}\\ 2\int \frac{x·e^{\arctan \left(x\right)}}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\mathrm{dx}=\frac{\left(x-1\right)·e^{\arctan \left(x\right)}}{\sqrt{1+x^2}}& \\ \int \frac{x·e^{\arctan \left(x\right)}}{{\left(1+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\mathrm{dx}=\frac{\left(x-1\right)·e^{\arctan \left(x\right)}}{2·\sqrt{1+x^2}}& \\ & \\ & \end{array}$$